PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что BN : ND1 = 1 : 2. Точка O — середина отрезка CB1.
а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.
б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 
Решение. а) Точка O — середина диагоналей CB1 и BC1 прямоугольника BCC1B1 (см. рис.). Следовательно, точка O лежит в плоскости ABC1. Треугольники AD1N и OBN подобны по двум сторонам и углу между ними, значит,
и
Следовательно,
Таким образом, точка A лежит на прямой NO.
б) Прямые BD1 и CB1 — скрещивающиеся, а длина отрезка NO равна расстоянию между ними, значит, он перпендикулярен обеим этим прямым. Таким образом, прямая CB1 перпендикулярна плоскости ABC1, поскольку она перпендикулярна лежащим в ней прямым AB и AO. Следовательно, диагонали прямоугольника BCC1B1 перпендикулярны, то есть он является квадратом.
Из подобия треугольников AD1N и OBN следует, что 
Отрезок BN — высота прямоугольного треугольника ABO (см. рис.). Получаем:
Значит, 
Таким образом, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. Следовательно, его объём равен 216.
Ответ: б) 216.
Приведем решение Игоря Эльмана (Москва).
а) Если параллельные проекции l1 и l2 прямой l на две непараллельные плоскости пересекаются, а прямые l, l1 и l2 не лежат в одной плоскости, то прямая l проходит через точку пересечения l1 и l2. Действительно, пусть плоскость α содержит прямые l и l1, плоскость β содержит прямые l и l2 (см. рис.), и пусть 
Поскольку плоскости α и β пересекаются по прямой l, она содержит все их общие точки, а значит, и точку X. (Условие «прямые l, l1 и l2 не лежат в одной плоскости» существенно, контрпримером является прямая, проходящая через точки (1; 0; 0) и (0; 0; 1) и не проходящая через начало координат, в то время как ее проекции — оси Ох и Oy пересекаются в начале координат.)
Пусть 
и 
— —
Пусть 
—
по острому углу следует 
и 
Имеем:
что означает, что и
Аналогично можно установить, что и проекция NO на плоскость ABB1 проходит через точку A. Отсюда следует, что и прямая NO проходит через точку A.
б) Прямые BD1 и CB1 — скрещивающиеся, расстояние между ними есть длина их общего перпендикуляра. Длина общего перпендикуляра наименьшая среди длин всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. Из вышесказанного заключаем, что отрезок NO перпендикулярен и прямой BD1, и прямой CB1. Тогда прямая CB1 перпендикулярна наклонной AO, а следовательно, по теореме о трех перпендикулярах и её проекции BO. Следовательно, четырехугольник BB1C1C — квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями.
Пусть 
По теореме Пифагора 
и 
и
откуда 
следовательно, 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. Пусть 
Имеем:
Очевидно, что 
потому точка A принадлежит прямой NO.
б) Далее находим:
Поскольку 
прямая NO перпендикулярная прямой BD1 и прямой B1C. Тогда:
Запишем эти скалярные произведения и квадрат длины вектора 
в координатах, учтем, что все переменные положительны:
Тогда многогранник ABCDA1B1C1D1 — куб, его объём равен 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |