РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате плюс a в квадрате плюс x минус 7a=|7x плюс a|$

имеет более двух различных корней.

Решение. Преобразуем уравнение:

$x в квадрате плюс a в квадрате плюс x минус 7a=|7x плюс a| равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате плюс a в квадрате плюс x минус 7a=7x плюс a,7x плюс a больше или равно 0 конец системы . , система выражений x в квадрате плюс a в квадрате плюс x минус 7a= минус 7x минус a,7x плюс a меньше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 6x плюс a в квадрате минус 8a=0,a больше или равно минус 7x конец системы . , система выражений x в квадрате плюс 8x плюс a в квадрате минус 6a=0,a меньше минус 7x конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 6x плюс 9 плюс a в квадрате минус 8a плюс 16=9 плюс 16,a больше или равно минус 7x конец системы . , система выражений x в квадрате плюс 8x плюс 16 плюс a в квадрате минус 6a плюс 9=16 плюс 9,a меньше минус 7x конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка в квадрате =5 в квадрате ,a больше или равно минус 7x конец системы . , система выражений левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате =5 в квадрате ,a меньше минус 7x. конец системы . конец совокупности .$

Таким образом, в системе координат xOa исходное уравнение задаёт объединение дуг окружностей радиуса $5$ с центрами в точках $левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка минус 4;3 правая круглая скобка ,$ лежащих выше и ниже прямой $a= минус 7x$ соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках $A левая круглая скобка минус 1;7 правая круглая скобка$ и $O левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка .$ Количество корней равнения равно количеству точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой при соответствующем значении a.

Пользуясь построенным рисунком, получаем:

—  при $a меньше минус 2$ уравнение не имеет корней;

—  при $a= минус 2$ уравнение имеет один корень;

—  при $минус 2 меньше a меньше минус 1$ уравнение имеет два корня;

—  при $a= минус 1$ уравнение имеет три корня;

—  при $минус 1 меньше a меньше 0$ уравнение имеет четыре корня;

—  при $a=0$ уравнение имеет три корня;

—  при $0 меньше a меньше 7$ уравнение имеет два корня;

—  при $a=7$ уравнение имеет три корня;

—  при $7 меньше a меньше 8$ уравнение имеет четыре корня;

—  при $a=8$ уравнение имеет три корня;

—  при $8 меньше a меньше 9$ уравнение имеет два корня;

—  при $a=9$ уравнение имеет один корень;

—  при $a больше 9$ уравнение не имеет корней.

Таким образом, уравнение имеет более двух различных корней при $минус 1 меньше или равно a меньше или равно 0$ или при $7 меньше или равно a меньше или равно 8.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 7; 8 правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек $a=0$ и/или $a=7$ .	3
В решении верно найдены все граничные точки ( $a= минус 1,$ $a=0,$ $a=7,$ $a=8$ ), но неверно определены промежутки значений a. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружностей и прямых (графически или аналитически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630124	$левая квадратная скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 7; 8 правая квадратная скобка .$

Ключ