РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 630109 Добавить в вариант

Источник: Задания 14 ЕГЭ–2022

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство

$логарифм по основанию 2 x плюс 2 логарифм по основанию x 2 больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в кубе конец дроби .$

Решение. Заметим, что

$логарифм по основанию x 2= дробь: числитель: логарифм по основанию 2 2, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби .$

Положим, $t= логарифм по основанию 2 x,$ получим неравенство

$t плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби t в кубе равносильно дробь: числитель: t в степени 4 плюс 2t в квадрате минус 3, знаменатель: t в кубе конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: t в кубе конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t больше или равно 1, минус 1 меньше или равно t меньше 0. конец совокупности .$ $t плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби t в кубе равносильно дробь: числитель: t в степени 4 плюс 2t в квадрате минус 3, знаменатель: t в кубе конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: t в кубе конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t больше или равно 1, минус 1 меньше или равно t меньше 0. конец совокупности .$ $t плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби t в кубе равносильно дробь: числитель: t в степени 4 плюс 2t в квадрате минус 3, знаменатель: t в кубе конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: t в кубе конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t больше или равно 1, минус 1 меньше или равно t меньше 0. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 x больше или равно 1, минус 1 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше или равно 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

630109

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$