РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 630105 Добавить в вариант

Источник: Задания 12 ЕГЭ–2022

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Другие уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $5 в степени левая круглая скобка 2\log в квадрате _2 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка синус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Перейдем к одному основанию, получим

$5 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате синус x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 2 синус x правая круглая скобка ,$

откуда, сделав замену $t= логарифм по основанию 2 синус x,$ получаем:

$2t в квадрате =1 минус t равносильно 2t в квадрате плюс t минус 1=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 синус x= минус 1, логарифм по основанию 2 синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= корень из 2 конец совокупности . \underset| синус x| меньше или равно 1\mathop равносильно синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 2 синус x= минус 1, логарифм по основанию 2 синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= корень из 2 конец совокупности . \underset| синус x| меньше или равно 1\mathop равносильно$
$\underset| синус x| меньше или равно 1\mathop равносильно синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  На отрезке $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ лежит корень $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

630105

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$