PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет решения.
Решение. Рассмотрим неравенство:
Заметим, что в скобках находятся суммы двух взаимно обратных положительных чисел, каждая из которых не меньше двух, поэтому первое произведение не меньше 3 · 2 = 6, а вторе не меньше 8 · 2 = 16. Следовательно, левая часть полученного неравенства не меньше 22. С другой стороны, по условию она не больше 22. Таким образом, неравенство обращается в равенство
а значит, каждая из сумм взаимно обратных чисел равна 2. Это возможно, только если каждое из слагаемых равно 1, откуда получаем:
Подставив в уравнение исходной системы 
получим уравнение с одной переменной
Заметим, что 
— корень полученного уравнения. При этом левая часть уравнения представляет собой убывающую функцию, а правая — возрастающую, значит, уравнение имеет не более одного корня, а потому других корней нет.
Таким образом, решением исходной системы является только одна пара чисел 
и это решение достигается при 
При других значениях параметра исходная система не имеет решений.
Ответ: −2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной. | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |