PDF-версии: 
Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R с центром в точке O, его диагонали AC и BD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD пересекаются в точке Q.
а) Докажите, что 
б) Найдите R, если АВ = 5, CD = 6, 
Решение. а) Проведем QG — касательную к окружности и EF — диаметр, проходящий через точку P. Тогда по теоремам о пропорциональных отрезках в круге получаем:
и
Складывая эти два равенства, получаем требуемое.
б) Пусть 
Тогда, по теореме о внешнем угле, 
Далее, по теореме синусов 
и 
Поделив одно равенство на другое? получим:
Отсюда
Значит, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |