РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Имеется уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс c=0,$ числа a, b и c  — целые, $a не равно 0.$

а)  Найдите все возможные значения b, если известно, что a  =  10, c  =  30, а уравнение имеет два различных целых корня?

б)  Найдите все возможные значения корней, если b  =  c и уравнение имеет либо два различных целых корня, либо один целый корень кратности 2.

в)  Известно, что $a в степени 4 плюс b в степени 4 плюс c в степени 4 =1568$ и уравнение имеет корни, причем все корни являются целыми числами. Найдите все возможные значения корней.

Решение. а)  Если уравнение $10x в квадрате плюс bx плюс 30=0$ имеет два целых корня, то их произведение равно $дробь: числитель: 30, знаменатель: 10 конец дроби =3.$ Значит, это 1 и 3 или −1 и −3. Тогда $b= минус левая круглая скобка \pm левая круглая скобка 1 плюс 3 правая круглая скобка умножить на 10 правая круглая скобка =\pm 40.$

б)  Пусть уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс b=0$ имеет целые корни $x_1$ и $x_2$ (возможно, равные). По теореме Виета, $x_1 плюс x_2= минус дробь: числитель: b, знаменатель: a конец дроби = минус x_1x_2,$ откуда

$x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=0 равносильно x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 плюс 1=1 равносильно левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =1,$

поэтому $x_1 плюс 1=x_2 плюс 1=\pm 1.$ Значит, $x_1=x_2=0$ или $x_1=x_2= минус 2.$ Оба варианта возможны, примерами являются уравнения $x в квадрате =0$ и $x в квадрате плюс 4x плюс 4=0.$

в)  Исследуем сначала уравнение $a в степени 4 плюс b в степени 4 плюс c в степени 4 =1568=2 в степени 5 умножить на 7 в квадрате .$ Заметим, что при четном x  — $x в степени 4$ кратно 4, а при нечетном x  — $x в степени 4 минус 1= левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка$ кратно 4 как произведение двух четных чисел. Значит, $a в степени 4 ,$ $b в степени 4 ,$ $c в степени 4$ дают остатки 0 или 1 при делении на 4, при этом их сумма кратна 4. Значит, на самом деле все они дают остатки 0, и поэтому a, b, c четны. Пусть $a=2A,$ $b=2B,$ $c=2C.$ Тогда

$a в степени 4 плюс b в степени 4 плюс c в степени 4 =16 левая круглая скобка A в степени 4 плюс B в степени 4 плюс C в степени 4 правая круглая скобка равносильно A в степени 4 плюс B в степени 4 плюс C в степени 4 =98.$

При этом уравнения $ax в квадрате плюс bx плюс c=0$ и $Ax в квадрате плюс Bx плюс C=0$ отличаются просто умножением на 2 и потому имеют одни и те же корни.

Из чисел A, B, C ровно одно четно (если все, то $A в степени 4 плюс B в степени 4 плюс C в степени 4$ кратно 16, а если два или ни одного, то $A в степени 4 плюс B в степени 4 плюс C в степени 4$ нечетно), кроме того, $A в степени 4 меньше или равно 98,$ откуда $минус 3 меньше или равно A меньше или равно 3.$ Аналогичные неравенства верны для B и C. Из чисел $0=0 в степени 4 ,$ $1=1 в степени 4 ,$ $16=2 в степени 4 ,$ $81=3 в степени 4$ для получения суммы 98 обязательно надо взять 81 (иначе сумма не превысит $16 умножить на 3=48$ ), после чего набрать сумму 17 остальными двумя числами можно только как 1 + 16. Итак, числа A, B, C это $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3$ в каком-то порядке.

Поскольку корни целые, то целым будет и их произведение, равное $дробь: числитель: C, знаменатель: A конец дроби ,$ поэтому $A=\pm 1.$ Поменяв, если нужно, все знаки у коэффициентов (от этого корни не меняются), можем считать, что A  =  1. Кроме того, если сменить знак у B, оба корня лишь сменят знак, поэтому можно считать, что B > 0. Тогда уравнение имеет вид $x в квадрате плюс 2x\pm 3=0$ или $x в квадрате плюс 3x\pm 2=0.$ Переберем случаи:

− уравнение $x в квадрате плюс 2x плюс 3=0$ не имеет корней;

− уравнение $x в квадрате плюс 2x минус 3=0,$ дает корни $x=1$ или $x= минус 3,$ а также наоборот корни $x= минус 1$ и $x=3$ для уравнения $x в квадрате минус 2x минус 3=0;$

− уравнение $x в квадрате плюс 3x плюс 2=0,$ откуда $x= минус 1$ или $x= минус 2,$ а также наоборот корни $x=1$ и $x=2$ для уравнения $x в квадрате минус 3x плюс 2=0;$

− уравнение $x в квадрате плюс 3x минус 2=0$ не имеет целых корней.

Окончательно, корни могут быть равны $левая фигурная скобка минус 1;3 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка 1; минус 3 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка минус 1; минус 2 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка 1;2 правая фигурная скобка .$

Ответ: а)   $\pm 40;$ б)   $левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка ;$ в)   $левая фигурная скобка минус 1;3 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка 1; минус 3 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка минус 1; минус 2 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка 1;2 правая фигурная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	626510	а)   $\pm 40;$ б)   $левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка$ или $левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка ;$ в)   $левая фигурная скобка минус 1;3 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка 1; минус 3 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка минус 1; минус 2 правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка 1;2 правая фигурная скобка .$

Ключ