PDF-версии: 
Найдите наибольшее значение параметра a, при котором уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение. При 
уравнение не имеет смысла. При 
правую часть уравнения можно записать в виде
Полученное выражение можно интерпретировать как скалярное произведение векторов
и 
Напомним свойство скалярного произведения. Пусть даны векторы 
и 
тогда:
Иными словами, скалярное произведение векторов не больше произведения их длин. Запишем это свойство в координатах:
Оценим правую часть уравнения, используя неравенство (⁎):
Тогда для исходного уравнения получаем
Таким образом, значения параметра a, при котором исходное уравнение имеет корни, не может превышать 0,5.
Проверим, достигается ли это значение. Подставим в исходное уравнение 
Значит, наибольшее значение параметра a, при котором исходное уравнение имеет хотя бы один корень, равно 0,5.
Ответ: 0,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной. | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |