Тип Д15 C4 № 625654 
Сложная планиметрия. Многоугольники
i
На стороне АВ треугольника АВС взята точка D таким образом, что 
и 
Через середину отрезка CD проведена прямая, пересекающая стороны АС и ВС в точках M и N соответственно. Известно, что 
площадь треугольника MCN равна 
а расстояние от точки М до прямой АВ в два раза больше расстояния от точки N до этой же прямой.
а) Докажите, что четырехугольник СMDN — параллелограмм.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Решение. 
а) Заметим, что 
откуда 
Положим 
По условию, 
то есть
Отсюда 
то есть 
Следовательно,
Запишем теперь площадь треугольника MCN как сумму площадей треугольников NCE и MCE:
Отсюда 
Решая систему на CM и CN получаем, что CM = 3, CN = 4. Запишем теорему косинусов для треугольников CNE и CME, получим, что
Аналогично, 
Тогда диагонали четырехугольника DNCM точкой пересечения делятся пополам, значит, он является параллелограммом. Что и требовалось доказать.
б) Теперь можно заметить, что DN = CM = 3, DM = NC = 4, треугольники BND и DMA подобны с коэффициентом 
поэтому MA = 2DN = 6, 
В итоге, BC = 6, AC = 9, и площадь треугольника ABC равна 
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б)
625654
б)
PDF-версии: