PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра BC = 8, CD = 3, BB1 = 6. Точка Q — середина ребра CC1.
а) Докажите, что угол между плоскостями BD1Q и ABC равен 
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости BD1Q.
Решение. а) Заметим, что две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, следовательно, сечение — параллелограмм. Пусть P — точка пересечения сечения с ребром AA1, тогда P — его середина. Таким образом, сечение содержит прямую PQ, параллельную прямой AC. Значит, плоскости ABC и BD1Q пересекаются по прямой, параллельной AC.
Из точки B опустим перпендикуляры BH и BH1 на AC и PQ соответственно. Прямые AC и PQ параллельны линии пересечения, поэтому HBH1 — линейный угол угла между плоскостями BD1Q и ABC. При этом прямая HH1 перпендикулярна плоскости ABC по теореме о трёх перпендикулярах.
Далее имеем: 
откуда
б) Треугольник ABC является проекцией треугольника BPQ, следовательно,
Тогда
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B. Запишем необходимые координаты:
Составим уравнение плоскости ABC в виде 
Теперь можем записать уравнение плоскости: 
откуда вектор нормали 
Составим аналогичным способом уравнение плоскости BD1Q:
откуда
следовательно, вектор нормали 
Найдём угол между плоскостями:
откуда 
б) Координаты точки плоскость BD1Q задаётся уравнением 
её вектор нормали 
Найдём расстояние между точкой A и плоскостью BD1Q:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |