РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 623660 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 372

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

В растворе Х содержится 30% вещества А и 50% вещества В, в растворе Y содержится 50% вещества А и 40% вещества В, в растворе Z содержится 80% вещества А и 10% вещества В. В результате смешивания получился раствор, содержащий 60% вещества А. Найдите наименьшее возможное содержание вещества В в получившемся растворе.

Решение. Будем считать, что для смешивания использовали a кг раствора X, b кг раствора Y и c кг раствора Z. Тогда для вещества A имеем:

$0,3a плюс 0,5b плюс 0,8c=0,6 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка равносильно 0,3a плюс 0,1b=0,2c равносильно b=2c минус 3a.$ $0,3a плюс 0,5b плюс 0,8c=0,6 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 0,3a плюс 0,1b=0,2c равносильно b=2c минус 3a.$

Пусть $c=1,$ тогда $b=2 минус 3a,$ где, с учетом неотрицательности масс, $0 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Для вещества B получаем:

$0,5a плюс 0,4b плюс 0,1c=\omega умножить на левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка равносильно \omega= дробь: числитель: 0,5a плюс 0,4b плюс 0,1c, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби .$

Подставив $c=1,$ и $b=2 минус 3a,$ получим функцию

$\omega левая круглая скобка a правая круглая скобка = дробь: числитель: 0,5a плюс 0,4 левая круглая скобка 2 минус 3a правая круглая скобка плюс 0,1 умножить на 1, знаменатель: a плюс левая круглая скобка 2 минус 3a правая круглая скобка плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 0,9 минус 0,7a, знаменатель: 3 минус 2a конец дроби = дробь: числитель: 0,15, знаменатель: 2a минус 3 конец дроби плюс 0,35.$

Функция $\omega левая круглая скобка a правая круглая скобка$   — убывающая, значит, принимает своё наименьшее значение при наибольшем значении аргумента.

$\omega_min левая круглая скобка a правая круглая скобка =\omega левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 0,15, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус 3 конец дроби плюс 0,35 =0,26.$

Значит, наименьшее возможное содержание вещества B в полученном растворе равно 26%. Это достигается если смешать 2 порции раствора X и 3 порции раствора Z, а раствор Y не использовать.

Ответ: 26%.

Приведем другое решение:

Пусть a  — доля раствора X, b  — доля раствора Y, c  — доля раствора Z в смеси, тогда a + b + c  =  1, то есть c  =  1 – a – b. Для концентрации вещества A в смеси имеем

$0,6=0,3a плюс 0,5b плюс 0,8c=0,3a плюс 0,5b плюс 0,8 левая круглая скобка 1 минус a минус b правая круглая скобка равносильно 0,5a плюс 0,3b=0,2 равносильно a=0,4 минус 0,6b.$ $0,6=0,3a плюс 0,5b плюс 0,8c=0,3a плюс 0,5b плюс 0,8 левая круглая скобка 1 минус a минус b правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 0,5a плюс 0,3b=0,2 равносильно a=0,4 минус 0,6b.$

Для концентрации ω вещества B в смеси получаем

$\omega левая круглая скобка b правая круглая скобка = 0,5a плюс 0,4b плюс 0,1c=0,5 левая круглая скобка 0,4 минус 0,6b правая круглая скобка плюс 0,4b плюс 0,1 левая круглая скобка 1 минус 0,4 минус 0,4b правая круглая скобка = 0,26 плюс 0,06b.$ $\omega левая круглая скобка b правая круглая скобка = 0,5a плюс 0,4b плюс 0,1c=$
$=0,5 левая круглая скобка 0,4 минус 0,6b правая круглая скобка плюс 0,4b плюс 0,1 левая круглая скобка 1 минус 0,4 минус 0,4b правая круглая скобка = 0,26 плюс 0,06b.$ $\omega левая круглая скобка b правая круглая скобка = 0,5a плюс 0,4b плюс 0,1c=$
$=0,5 левая круглая скобка 0,4 минус 0,6b правая круглая скобка плюс 0,4b плюс 0,1 левая круглая скобка 1 минус 0,4 минус 0,4b правая круглая скобка =$
$= 0,26 плюс 0,06b.$

Очевидно, что минимум этой функции достигается при b  =  0 и равен ω(0)  =  0,26. Заметим, что при этом a  =  0,4, c  =  0,6.

Ответ: 26%.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 26%. 26%.

623660

26%.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 372

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	623660	26%.