РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 623659 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 372

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства с модулями

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 правая круглая скобка меньше 2 логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка |x минус 4|.$

Решение. Заметим, что

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка |x минус 4| = логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка |x минус 4| в квадрате = логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате = логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате = 1$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка |x минус 4| = логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка |x минус 4| в квадрате =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате = логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате = 1$

при условиях $левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате не равно 0,$ $левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате не равно 1.$ Применим метод рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 правая круглая скобка меньше 2 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка |x минус 4| равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 правая круглая скобка меньше 1,x не равно 3,x не равно 4,x не равно 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка ,x не равно 3,x не равно 4,x не равно 5 конец системы . равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 правая круглая скобка меньше 2 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка |x минус 4| равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 правая круглая скобка меньше 1,x не равно 3,x не равно 4,x не равно 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка ,x не равно 3,x не равно 4,x не равно 5 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 8 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 минус x минус 8 правая круглая скобка меньше 0,x не равно 3,x не равно 4,x не равно 5,x плюс 8 больше 0,x в квадрате минус 3x минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 12 правая круглая скобка меньше 0,x не равно 3,x не равно 4,x не равно 5,x плюс 8 больше 0, левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 8 меньше x меньше минус 7, минус 2 меньше x меньше минус 1,4 меньше x меньше 5,5 меньше x меньше 6. конец совокупности .$ $равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 8 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус 4 минус x минус 8 правая круглая скобка меньше 0,x не равно 3,x не равно 4,x не равно 5,x плюс 8 больше 0,x в квадрате минус 3x минус 4 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус 12 правая круглая скобка меньше 0,x не равно 3,x не равно 4,x не равно 5,x плюс 8 больше 0, левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 8 меньше x меньше минус 7, минус 2 меньше x меньше минус 1,4 меньше x меньше 5,5 меньше x меньше 6. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 8; минус 7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; 6 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

623659

$левая круглая скобка минус 8; минус 7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; 6 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 372

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства с модулями

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	623659	$левая круглая скобка минус 8; минус 7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; 6 правая круглая скобка .$