PDF-версии: 
Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.
а) Докажите, что 
б) Найдите BM, если AB = AC = 5, BC = 6.
Решение. а) Обозначим точку пересечения внутренних биссектрис буквой I. Заметим, что точка M равноудалена от прямых AB, BC, AC, поэтому она лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A. Аналогично, на этой же биссектрисе лежит точка N. Поэтому прямая MN проходит через точку A, то есть угол BMN равен углу IMA. Заметим еще, что
Таким образом, четырехугольник AICM вписан в окружность. Значит, 
Что и требовалось доказать.
б) Зная 
найдем
Биссектрисы внутреннего и внешнего угла перпендикулярны, поэтому IM — диаметр окружности IAMC. По теореме синусов 
Найдем отрезок BI. Пусть длина биссектрисы, проведенной из вершины B, равна l. Применим теорему косинусов:
значит, 
Теперь, по свойству биссектрисы, получаем, что 
Отсюда 
а тогда 
Ответ: б) 
Приведем решение пункта а) Ирины Шраго.
Заметим, что угол между биссектрисами внешнего и внутреннего угла равен 90°, следовательно, ∠NBM = ∠NCM = 90°. Тогда четырехугольник NBCM — вписанный, и ∠BMN = ∠BCN как углы, опирающиеся на одну дугу. При этом 
поскольку CN — биссектриса, следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |