Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. За­ме­тим, что четырёхуголь­ник KBMH впи­сан в окруж­ность, тогда углы KBH и KMH равны. Тогда

Зна­чит, тре­уголь­ни­ки KBM и CBA по­доб­ны. Диа­мет­ры их опи­сан­ных окруж­но­стей равны BH и 2R, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен За­ме­тим, что

по­это­му пря­мые BO и KM пер­пен­ди­ку­ляр­ны. От­но­ше­ние высот, про­ведённых из точки B, тре­уголь­ни­ков KBM и CBA, равно сле­до­ва­тель­но, вы­со­та тре­уголь­ни­ка KBM равна R.

Таким об­ра­зом, вы­со­та тре­уголь­ни­ка KBM лежит на пря­мой BO, а зна­чит, точка O лежит на пря­мой KM.

б)  За­пи­шем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC двумя спо­со­ба­ми:

При­рав­ня­ем по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния, по­лу­чим урав­не­ние от­ку­да

Ответ: б) 3.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при R  =  3 по­лу­чим Это может быть толь­ко в том слу­чае, если точки C и H сов­па­да­ют. Сле­до­ва­тель­но, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ги­по­те­ну­зой AB  =  6. Ре­ше­ние за­да­чи при­ве­де­но для об­ще­го слу­чая.