PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки K, L и M — середины ребер AB, B1C1 и DD1.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником.
б) Найдите расстояния от точки A до плоскости KLM, если ребро куба равно 2.
Решение. а) Плоскость KLM пересекает рёбра AB, B1C1 и DD1, поэтому она должна также пересекать рёбра C1D1, AD и BB1. Назовём точки пересечения Q, R, P соответственно. Таким образом, в сечении получаем шестиугольник KPLQMR. Пусть плоскость сечения пересекает ребро AA1 в точке S, тогда через неё проходят прямые KP и MR. Грани куба параллельны, поэтому прямые KP и MQ также параллельны, следовательно, поскольку AK = KB = MD1, треугольники KSA, KPB и MQD1 равны.
Далее, с одной стороны, углы MQD, SKD и PKB равны как углы между парами параллельных прямых, с другой стороны, углы MQD и KPB равны как углы, лежащие напротив равных сторон. Следовательно, углы PKB и KPB равны, и указанные треугольники равнобедренные: BK = BP, D1M = D1Q, P — середина BB1, Q — середина C1D1, R — середина AD. Таким образом, KP = PL = LQ = QM = MR = RK.
Заметим теперь, что KL = PQ = LM = QR = MK = RP, поэтому равнобедренные треугольники KPL, PLQ, LQM, QMR, MRK, RKP и углы шестиугольника равны. Следовательно, KPLQMR — правильный шестиугольник.
б) Рассмотрим пирамиду SAKR и запишем её объём двумя способами:
где hA — искомое расстояние, AS = AK = AR = 1, 
Далее, 
Ответ: б) 
Приведем идею решения методом координат.
а) Примем вершину С за начало координат, ось абсцисс направим вдоль ребра СB, ось ординат — вдоль ребра CD, ось аппликат направим вдоль ребра СС1. Длину ребра без потери общности примем за 2. В такой системе координат уравнение плоскости KLM имеет вид 
Середины трёх оставшихся ребер, которые пересекает сечение, имеют координаты 
и 
Эти координаты удовлетворяют уравнению плоскости, а значит, точки P, Q, R лежат плоскости сечения. Следовательно, искомое сечение — шестиугольник KPLQMR, у которого все стороны равны, а большие диагонали, противолежащим сторонам, вдвое больше сторон, то есть разбивают шестиугольник на 6 равных равносторонних треугольников. Тем самым, шестиугольник KPLQMR правильный, что и требовалось доказать.
б) Расстояние от точки 
до плоскости KLM найдем по формуле расстояния от точки до плоскости:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |