PDF-версии: 
Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет не менее 12 решений.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
В системе координат xOy графиком первого уравнения полученной совокупности является квадрат с вершинами в точках 
и 
а графиком второго уравнения является объединение двух гипербол (см. рис.). Точки пересечения гипербол и квадрата в первой четверти найдём из системы
В остальных четвертях точки пересечения симметричны найденным и имеют координаты 
и 
Графиком второго уравнения исходной системы при 
является окружность с центром в начале координат и радиусом a. Лежащие в первой четверти точки пересечения гиперболы и окружности определяются из системы уравнений
Положительным решением уравнения 
является число 
При этом значении параметра уравнение 
имеет ровно одно решение, лежащее в первой четверти, а потому в силу симметрии гипербола имеет с окружностью ровно 4 общих точки, лежащих по одной в каждой координатной четверти. При 
общих точек нет. При 
выражение 
положительно, поэтому гипербола и окружность пересекаются в 8 точках, лежащих по две в каждой координатной четверти.
Количество решений исходной системы совпадает с количеством точек пересечения окружности и графика первого уравнения системы. Получаем, что
— при 
система не имеет решений;
— при 
система имеет 4 решения;
— при 
система имеет 8 решений;
— при 
система имеет 12 решений;
— при 
система имеет 16 решений;
— при 
система имеет 8 решений;
— при 
система имеет 16 решений;
— при 
система имеет 12 решений;
— при 
система имеет 8 решений.
Найдем граничные значения параметра из геометрических соображений:
(окружность вписана в квадрат);
(окружность проходит через точки пересечения квадрата и гипербол); 
(квадрат вписан в окружность).
Таким образом, исходная система имеет не менее 12 решений при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |