РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 562693 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 353

Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней

Методы алгебры: Замена переменной, Формулы двойного угла, Формулы сложения и вычитания

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $косинус в степени 6 x плюс синус в степени 6 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Для квадратов синуса и косинуса применим в левой части формулу суммы кубов:

$косинус в степени 6 x плюс синус в степени 6 x =$
$= левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в степени 4 x минус косинус в квадрате x синус в квадрате x плюс синус в степени 4 x правая круглая скобка =$

$= 1 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате минус 3 косинус в квадрате x синус в квадрате x правая круглая скобка = 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x.$ $= 1 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате минус 3 косинус в квадрате x синус в квадрате x правая круглая скобка =$
$= 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x.$

Тогда

$1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x равносильно синус в квадрате 2x=1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 2x=1, синус 2x= минус 1 конец совокупности . равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$ $1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно синус в квадрате 2x=1 равносильно совокупность выражений синус 2x=1, синус 2x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$ $1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно синус в квадрате 2x=1 равносильно совокупность выражений синус 2x=1, синус 2x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$ $1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби синус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно синус в квадрате 2x=1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 2x=1, синус 2x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходят $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

562693

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 353

Методы алгебры: Замена переменной, Формулы двойного угла, Формулы сложения и вычитания

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562693	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$