РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 562491 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 352

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус 2x, знаменатель: 2 синус x косинус x минус 1 конец дроби =1.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то есть $синус 2x не равно 1.$ Преобразуем уравнение при этом условии:

$дробь: числитель: 1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус 2x, знаменатель: 2 синус x косинус x минус 1 конец дроби =1 \underset синус 2x не равно 1 \mathop равносильно 1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус 2x= синус 2x минус 1 равносильно$ $дробь: числитель: 1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус 2x, знаменатель: 2 синус x косинус x минус 1 конец дроби =1 \underset синус 2x не равно 1 \mathop равносильно$
$\underset синус 2x не равно 1 \mathop равносильно 1 плюс 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус 2x= синус 2x минус 1 равносильно$

$равносильно 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x= корень из 2 конец совокупности . равносильно синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $равносильно 2 синус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x= корень из 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Условию $синус 2x не равно 1$ удовлетворяет только $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи двойного неравенства:

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k\leqslant минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно k= минус 1.$

Указанному отрезку удовлетворяет только $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

562491

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 352

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562491	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$