РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения параметра a, при котором система уравнений

$система выражений новая строка a левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка минус ax плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1=0, новая строка xy минус 1=y минус x. конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Решение. Решим второе уравнение из системы:

$xy минус 1 = y минус x равносильно xy минус 1 минус y плюс x = 0 равносильно y левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс x минус 1 = 0 равносильно левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений y = минус 1,x = 1. конец совокупности .$ $xy минус 1 = y минус x равносильно xy минус 1 минус y плюс x = 0 равносильно$
$равносильно y левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс x минус 1 = 0 равносильно левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений y = минус 1,x = 1. конец совокупности .$ $xy минус 1 = y минус x равносильно xy минус 1 минус y плюс x = 0 равносильно$
$равносильно y левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс x минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений y = минус 1,x = 1. конец совокупности .$

Следовательно, решениями системы являются пары вида $левая круглая скобка 1; y правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x; минус 1 правая круглая скобка ,$ а потому система имеет четыре различных решения, если ее первое уравнение имеет два различных решения $y_1, 2$ при $x = 1$ и имеет два различных решения $x_1, 2$ при $y = минус 1.$ Причем пара решений $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка$ входит в оба случая, а потому соответствующее значение параметра необходимо исключить. Найдем его, подставив пару чисел $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка$ в первое уравнение исходной системы:

$2a минус a минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно 4 = 0$   — неверно,

значит пара чисел $левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка$ не являются решением системы ни при каком значении a.

Подставим $x = 1$ в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной y виду. Получим:

$левая круглая скобка 1 плюс y в квадрате правая круглая скобка a минус a плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1 = 0 равносильно a y в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1 = 0.$

При $a = 0$ полученное уравнение будет линейным и не сможет иметь ровно два корня, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:

$D = левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4a = левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 9 правая круглая скобка .$

Уравнение имеет два различных корня $y_1, 2,$ если его дискриминант положителен, то есть при $a меньше 0,$ $0 меньше a меньше 1$ или при $a больше 9.$

Подставим $y = минус 1$ в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной x виду. Получим:

$левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате правая круглая скобка a минус ax минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно a x в квадрате минус ax плюс 4 = 0.$

При $a = 0$ полученное уравнение решений не имеет, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:

$D = a в квадрате минус 16a = a левая круглая скобка a минус 16 правая круглая скобка .$

Найдем нули дискриминанта:

$a левая круглая скобка a минус 16 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений a = 0,a = 16. конец совокупности .$

Следовательно, уравнение имеет два различных корня $x_1, 2,$ при $a меньше 0$ или при $a больше 16.$

Таким образом, система имеет четыре решения при выполнении следующих условий:

$система выражений совокупность выражений a меньше 0,a больше 16, конец системы . совокупность выражений a меньше 0,0 меньше a меньше 1,a больше 9 конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений a больше 16,a меньше 0. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 16; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = −2.	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 8, a = 3 и/или a = −2, или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 0, i> = −1 и/или i> = −2. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562238	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 16; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ