PDF-версии: 
При каком значении параметра a система
имеет наибольшее количество решений? Найдите эти решения.
Решение. Решим систему графически в системе координат Х; Y. Покажем, что первое уравнение этой системы задает отрезок. Уравнение отрезка АВ, концы которого — точки A(xA; yA) и B(xB; yB), имеет вид:
В левой части уравнения — сумма расстояний от точки M с координатами (x; y) до точек A(xA; yA) и B(xB; yB). В правой — расстояние между точками А и В. Пара чисел (х; у) соответствует координатам любой точки этого отрезка. Кратко это можно записать так: 
и это значит, что точка M лежит на отрезке AB. В нашем случае точки А и В имеют координаты: 
Расстояние между этими точками равно 4. Действительно, рассматриваемое уравнение задает отрезок AB. Ордината точек А и В равна параметру a. Можно сказать, что это отрезок длины 4, который, в зависимости от параметра a, может быть расположен выше или ниже на координатной плоскости.
Первое неравенство исходной системы задает область, ограниченную прямой 
и полуокружностью 
c центром в точке 
и радиусом, равным 2.
Решим уравнения 
и 
Решения первого уравнения: 
Решения второго уравнения: 
где k и n — целые. Следовательно, уравнения и задают бесконечное множество точек, обе координаты которых — целые числа.
Если 
система имеет наибольшее число решений, а именно 5. Они соответствуют точкам 
и 
Ответ: 
Примечание Дмитрия Сузана.
Можно было решать уравнения системы в другом порядке. Из уравнений (3) и (4) следует, что числа x и y — целые. Затем из неравенства (1) можно выписать все подходящие пары 
всего 9 пар. Наконец из уравнения (2) следует, что решение принадлежит отрезку с концами в точках 
и 
При 
число решений окажется максимальным.
----------
Дублирует задание 526709.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Найдено неверное значение параметра из-за арифметической ошибки при правильном ходе решения. | 3 |
| Значение параметра найдено верно, но в качестве решения системы записан отрезок (а не множество из 5 точек). Решения системы тригонометрических уравнений найдены неверно. | 2 |
| Найдены решения первого неравенства и второго уравнения, система не решена. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |