PDF-версии: 
Для набора 40 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число 777?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 33?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Решение. Упорядочим числа по возрастанию x1 < x2 < ... < x40. Заметим сразу, что достаточно проверять условие только для двух самых больших и четырех самых маленьких чисел.
а), б) В наборе 33, 777, 778, ..., 815 выполнено
815 + 814 < 33 + 777 + 778 + 779.
в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие
не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше. Если x40 ≠ x39 + 1, то можно заменить x40 на x39 + 1. Если после этого x39 ≠ x38 + 1, то можно заменить x39 на x38 + 1 и x40 на x38 + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд, кроме может быть первого (даже все числа от x3 до x40 можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства
будут уменьшаться одинаково). Далее можно увеличивать на 1 первое число и уменьшать на 1 все остальные. Так можно делать, если x2 − x1 > 2.
Итак, оптимальный набор — это числа x, x + 1, x + 2, ..., x + 39 или x − 1, x + 1, x + 2, ..., x + 39, причем в первом случае 4x + 6 > 2x + 77, откуда x ≥ 36, а во втором 4x + 5 > 2x + 77, откуда x ≥ 37. В наборе 36, 37, ..., 75 сумма очевидно меньше, чем в наборе 36, 38, 39, ..., 76. Значит, минимальная сумма равна
а примером могут служить числа от 36 до 75.
Ответ: а) да; б) да; в) 2220.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в | 4 |
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в | 3 |
| Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены | 2 |
| Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |