PDF-версии: 
Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число 999?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 66?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Решение. Упорядочим числа по возрастанию x1 < x2 < ... < x30. Заметим сразу, что достаточно проверять условие только для трех самых больших и четырех самых маленьких чисел.
а) В наборе 999, 1000, ..., 1028 выполнено
999 + 1000 + 1001 + 1002 > 1026 + 1027 + 1028.
б) Если там есть число 66, то
получаем противоречие.
в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие
не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше.
Если x30 ≠ x29 + 1, то можно заменить x30 на x29 + 1. Если после этого x29 ≠ x28 + 1, то можно заменить x29 на x28 + 1 и x30 на x28 + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд (даже все числа от x2 до x30 можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства
будут уменьшаться одинаково). Итак, оптимальный набор — это числа x, x + 1, x + 2, ..., x + 29, причем 4x + 6 > 3x + 84, откуда x > 78. Значит, минимальная сумма равна
а примером могут служить числа от 79 до 108.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2805.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в. | 3 |
| Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены. | 2 |
| Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |