Тип 19 № 562174 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).
а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 10 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 17 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 75, для каждого из которых десятичная запись числа n! · (75 − n)! оканчивается ровно 17 нулями?
Решение. Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.
а) Пусть n = 45. Есть ровно 9 чисел кратных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 10 двоек наберется (там есть 22 четных числа, дающих минимум по одной двойке).
б) Среди чисел 1, 2, ..., 74 есть 14 кратных 5, из них 25, 50 кратны 52. Значит, 74! оканчивается на (14 − 2) + 2 · 2 = 16 нулей. При этом 75! = 74! · 75 окачивается на 18 нулей. Ясно, что при n < 74 число нулей будет не более 16, а при n > 75 — не менее 18.
в) Среди чисел от 1 до n ровно 
кратны 5 и ровно 
кратны 25, поэтому степень пятерки в n! равна 
(здесь используется, что n ≤ 75, то есть числа, кратные 53, 54, ..., отсутствуют). Тогда в записи n! · (75 − n)! ровно
нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому 
или 14 и 
или 2. Нас интересует вариант 15 + 2 (вариант 14 + 3 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит, n кратно 5, но не 25. Таких чисел 12.
Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 38, поэтому его факториал содержит не менее 19 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.
Ответ: а) да; б) нет; в) 12.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пунктах а или б | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а или б | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 12.
562174
а) да; б) нет; в) 12.
PDF-версии: