PDF-версии: 
Найдите значения a, при каждом из которых среди корней уравнения 
будет ровно три положительных.
Решение. Заметим, что при
решений нет, поскольку левая часть уравнения принимает только положительные значения. Построим схематично графики левой и правой частей уравнения при положительных а. Уравнение имеет ровно три положительных решения, если ветви модуля будут пересекать параболу ровно в трех точках с положительными абсциссами. Из графиков ясно, что правая ветвь графика модуля должна пересекать параболу в двух точках, а левая ровно в одной точке с положительной абсциссой.
Обозначим A(0; 64) точку пересечения параболы с осью ординат. Найдем, при каких параметра график модуля пройдет через эту точку:
Найдем координаты точки касания B левой ветви модуля и левой ветви параболы. Для этого приравняем ординаты точки пересечения и определим, при каких значениях параметра полученное уравнение имеет единственное решение:
причем подходит только положительный корень.
При найденном значении параметра
а значит, абсцисса точки касания положительна. Таким образом, точка В лежит в первой четверти и расположена ниже точки A. Это позволяет уточнить первоначальный график функции и прийти к следующим выводам:
— при 
уравнение имеет ровно три положительных решения,
— при 
— четыре положительных решения,
— при 
три положительных решения и нуль,
— при 
три положительных решения и одно отрицательное.
Искомыми являются 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |