РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 561729 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка 4 синус в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка =18.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

$2 в степени левая круглая скобка 5 минус 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка =18.$

Сделаем замену $y=16 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка .$ Получаем:

$дробь: числитель: 32, знаменатель: y конец дроби плюс y=18 равносильно дробь: числитель: y в квадрате минус 18y плюс 32, знаменатель: y конец дроби =0 равносильно совокупность выражений y=2,y=16. конец совокупности .$

Сделаем обратную замену:

$совокупность выражений 16 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =2,16 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =16 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , косинус в квадрате x=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x=\pm1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $совокупность выражений 16 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =2,16 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =16 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , косинус в квадрате x=1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x=\pm1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ с помощью единичной окружности. Получаем $2 Пи ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k;\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи k:k принадлежит Z . правая фигурная скобка ;$ б) $2 Пи ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

561729

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k;\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи k:k принадлежит Z . правая фигурная скобка ;$ б) $2 Пи ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561729	а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k;\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи k:k принадлежит Z . правая фигурная скобка ;$ б) $2 Пи ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $3 Пи ,$ $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$