PDF-версии: 
На длинной лавочке сидят в ряд 50 человек, из них ровно 44 Владимира. Каждый загадывает желание, но сбывается оно только у тех, кто сидит между двумя Владимирами.
а) Какое наименьшее количество желаний может исполниться?
б) Может ли исполниться ровно 38 желаний?
в) Какое наибольшее количество желаний может исполниться?
Решение. Будем называть Николаями всех, кто не Владимир. Рассмотрим отдельно тех, кто сидит на четных местах, и тех, кто сидит на нечетных местах. Высадим их в том же порядке на две отдельных лавочки, а затем снова пересадим на одну — сначала людей с первой лавочки, потом одного нового дополнительного Николая, а потом людей со второй лавочки. Теперь каждые два Владимира, сидящих рядом, позволяют исполнить одно желание. Группа из x Владимиров подряд позволяет исполнить ровно x − 1 желание (даже при x = 1). Значит, все группы Владимиров вместе позволяют исполнить 44 − n желаний, где n — число групп.
а) Поскольку Николаев на новой скамье 50 − 44 + 1 = 7, Владимиры разбиваются на не более чем 8 групп, поэтому исполнят не менее 44 − 8 = 36 желаний. Это возможно, например, так: посадим на изначальной скамейке 3 группы «Владимир — Владимир — Николай — Николай», а потом остальных 38 Владимиров. Тогда желания исполнятся у всех Владимиров в большой группе (кроме двух крайних) и больше ни у кого.
б) Да. Если в предыдущем примере пересадить двух Владимиров с начала скамьи в ее конец, число исполненных желаний вырастет
в) Ясно, что на новой скамье Владимиры не могут образовывать одну группу (поскольку на 26-м месте сидит Николай), поэтому групп минимум две, а исполняющихся желаний не более 42. Это возможно, если на изначальной скамейке посадить сначала всех Николаев, а потом всех Владимиров.
Ответ: а) 36; б) да; в) 42.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а — г | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |