PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 4. На ребрах BB1 и BC выбраны точки D и E соответственно так, что B1D = BE = 1.
а) Докажите, что прямые A1D и DE перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями A1DE и BCC1.
Решение. а) Пусть точка H — середина B1C1, тогда прямая A1H перпендикулярна прямой B1C1 по свойству равностороннего треугольника, прямая A1H перпендикулярна прямой BB1 по свойству правильной призмы, таким образом, прямая A1H перпендикулярна плоскости BCC1 по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, значит, точка H — ортогональная проекция точки A1 на плоскость BCC1.
Прямоугольные треугольники B1DH и BDE равны по двум катетам 
значит,
Таким образом, проекция прямой A1D на плоскость BCC1 перпендикулярна прямой DE, значит, прямая A1D перпендикулярна прямой DE по теореме о трех перпендикулярах.
б) Из рассуждения п. а) угол A1DH — искомый, а его тангенс равен отношению A1H к DH. Из треугольников A1B1H, B1DH и A1DH соответственно находим
Таким образом, ответ — 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |