РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 561227 Добавить в вариант

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате x минус \ctg x левая круглая скобка синус x плюс тангенс x правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

$2 косинус в квадрате x минус \ctg x левая круглая скобка синус x плюс тангенс x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0, синус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x=1, конец системы . синус x не равно 0. конец совокупности .$ $2 косинус в квадрате x минус \ctg x левая круглая скобка синус x плюс тангенс x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0, синус x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x=1, конец системы . синус x не равно 0. конец совокупности .$

Корни уравнения $косинус x=1$ не удовлетворяют условию $синус x не равно 0.$ Тогда получаем:

$косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка ,$ с помощью единичной окружности. Получаем $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

561227

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561227	а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$