PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребрах AA1 и A1C1 выбраны точки M и N соответственно так, что AM = A1N = 2.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ACC1.
Решение. а) Пусть H — середина AC, тогда прямая BH перпендикулярна прямой AC по свойству равностороннего треугольника, прямая BH перпендикулярна AA1 по свойству правильной призмы, таким образом, прямая BH перпендикулярна плоскости ACC1 по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, значит, точка H — ортогональная проекция точки B на плоскость ACC1.
Прямоугольные треугольники AMH и A1MN равны по двум катетам 
значит,
Таким образом, проекция прямой BM на плоскость ACC1 перпендикулярна прямой MN, значит, прямая BM перпендикулярна MN по теореме о трех перпендикулярах.
б) Из рассуждения п. а) угол BMH — искомый, а его тангенс равен отношению BH к MH. Из треугольников ABH, AMH и BMH соответственно находим: 
откуда
Искомый угол равен 
Приведем другое решение.
а) Найдем координаты необходимых точек. M 
(только равносторонний треугольник).
Теперь зададим прямые векторами и найдем скалярное произведение:
б) Найдем уравнение плоскости BMN
Получаем вектор нормали: 
Теперь найдем вектор нормали плоскости ACC1. Можно сразу его написать, так как из чертежа видно, что ось Oy по сути является нормалью к плоскости 
Подставляем все в формулу для угла:
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |