Ре­ше­ние. Обо­зна­чим на­чаль­ную цену па­ке­та акций  руб­лей, еже­ме­сяч­ный по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент сто­и­мо­сти па­ке­та акций и пусть еже­ме­сяч­но от­кла­ды­ва­е­мая сумма со­став­ля­ет a руб­лей. Тогда в конце -⁠го ме­ся­ца пакет акций будет сто­ить не боль­ше  руб­лей. К се­ре­ди­не n-⁠го ме­ся­ца Сер­гей на­ко­пит сумму an руб­лей. Чтобы иметь воз­мож­ность ку­пить этот пакет акций во вто­рой по­ло­ви­не n-⁠го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие

Ми­ни­маль­ное зна­че­ние будет со­от­вет­ство­вать ра­вен­ству

Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность и най­дем наи­мень­ший член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Для этого ис­сле­ду­ем, как ме­ня­ет­ся част­ное двух со­сед­них чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти в за­ви­си­мо­сти от n:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние мо­но­тон­но воз­рас­та­ет с ро­стом n, оно мень­ше 1 при равно 1 при и боль­ше 1 при Это озна­ча­ет, что наи­мень­шим чле­ном по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ет­ся а по­то­му ис­ко­мая наи­мень­шая сумма равна

Ответ: 78 125 руб­лей.

При­ме­ча­ние.

Чтобы найти наи­мень­шее зна­че­ние суммы, можно было рас­смот­реть не част­ное, а раз­ность по­сле­до­ва­тель­ных сумм:

Знак раз­но­сти сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния ко­то­рое при под­ста­нов­ке при­ни­ма­ет вид Это вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при равно нулю при и от­ри­ца­тель­но при Это озна­ча­ет, что

Зна­чит, наи­мень­шая сумма, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо еже­ме­сяч­но от­кла­ды­вать, равна