РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 560142 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Системы с параметром

Задача с параметром. Системы с параметром

Найдите все значения параметра a при каждом из которых система

$система выражений левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 16 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0, левая круглая скобка x минус a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2a минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы .$

не имеет решений.

Решение. Первое неравенство имеет ровно два решения: $левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 4;16 правая круглая скобка .$ Следовательно, данная система не имеет решения тогда и только тогда, когда второму неравенству системы не удовлетворяет ни одно из решений первого неравенства.

Найдём все значения а, при каждом из которых справедлива система неравенств

$система выражений левая круглая скобка 1 минус a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 4 минус 2a минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , левая круглая скобка 4 минус a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 16 минус 2a минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате . конец системы .$

Имеем

$система выражений a в квадрате плюс 4 минус 8a плюс 4a в квадрате больше 4a в квадрате плюс 8a плюс 4, 9 минус 6a плюс a в квадрате плюс 196 минус 56a плюс 4a в квадрате больше 4a в квадрате плюс 8a плюс 4; конец системы равносильно система выражений a левая круглая скобка a минус 16 правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 67 правая круглая скобка больше 0. конец системы .$ $система выражений a в квадрате плюс 4 минус 8a плюс 4a в квадрате больше 4a в квадрате плюс 8a плюс 4, 9 минус 6a плюс a в квадрате плюс 196 минус 56a плюс 4a в квадрате больше 4a в квадрате плюс 8a плюс 4; конец системы равносильно$
$равносильно система выражений a левая круглая скобка a минус 16 правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 67 правая круглая скобка больше 0. конец системы .$

Получаем $a меньше 0$ или $a больше 67.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка ; левая круглая скобка 67; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a  =  4	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a  =  4 и исключением точки a  =  3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

560142

$левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка ; левая круглая скобка 67; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Системы с параметром

Методы алгебры: Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	560142	$левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка ; левая круглая скобка 67; плюс бесконечность правая круглая скобка .$