РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 559904 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 342

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Область определения неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Решение. Приведем логарифмы в левой части неравенства к основанию $2 минус 5x,$ сложим их, затем перейдем к основанию 6 и вычтем из полученной левой части правую часть неравенства; затем применим метод рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 2 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 2 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 6 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$ $равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка 6 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно система выражений дробь: числитель: 6x в квадрате минус 6x плюс 1 минус 2 плюс 5x, знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 5x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6x в квадрате минус 6x плюс 1 больше 0,2 минус 5x больше 0 конец системы . равносильно$ $равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 6x в квадрате минус 6x плюс 1 минус 2 плюс 5x, знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 5x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x в квадрате минус 6x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6x в квадрате минус 6x плюс 1 больше 0,2 минус 5x больше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: 6x в квадрате минус x минус 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6x в квадрате минус 6x плюс 1 больше 0,2 минус 5x больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 плюс корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка больше 0,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы .\undersetx меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби \mathop равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,x минус дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше 0,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$ $равносильно система выражений дробь: числитель: 6x в квадрате минус x минус 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6x в квадрате минус 6x плюс 1 больше 0,2 минус 5x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 плюс корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка больше 0,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы .\undersetx меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби \mathop равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,x минус дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше 0,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$ $равносильно система выражений дробь: числитель: 6x в квадрате минус x минус 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6x в квадрате минус 6x плюс 1 больше 0,2 минус 5x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 плюс корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка больше 0,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы .\undersetx меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби \mathop равносильно$
$\undersetx меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби \mathop равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,x минус дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше 0,x меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$

Заметим, что $0,36 меньше 3 меньше 3,24,$ тогда

$0,6 меньше корень из 3 меньше 1,8 равносильно минус 1,8 меньше минус корень из 3 меньше минус 0,6 равносильно 1,2 меньше 3 минус корень из 3 меньше 2,4 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .$ $0,6 меньше корень из 3 меньше 1,8 равносильно минус 1,8 меньше минус корень из 3 меньше минус 0,6 равносильно$
$равносильно 1,2 меньше 3 минус корень из 3 меньше 2,4 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .$

Теперь применим метод интервалов. Получаем:

$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x левая круглая скобка 1 минус 5x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

559904

$левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 342

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Область определения неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	559904	$левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 3 минус корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .$