РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 559902 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 342

Классификатор алгебры: Модуль числа, модуль выражения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Перебор случаев, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус синус x=| косинус x|.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 19 Пи ; дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус синус x=| косинус x| равносильно косинус x минус 2 синус x=| косинус x|.$ $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус синус x=| косинус x| равносильно$
$равносильно косинус x минус 2 синус x=| косинус x|.$

При $косинус x\geqslant0,$ получим $2 синус x=0 равносильно x= Пи k ,k принадлежит Z .$ Условию $косинус x\geqslant0$ соответствует только $x=2 Пи k ,k принадлежит Z .$

При $косинус x меньше 0$ получим

$2 косинус x минус 2 синус x=0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби синус x=0 равносильно$ $2 косинус x минус 2 синус x=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби синус x=0 равносильно$

$равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $равносильно косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

Условию $косинус x меньше 0$ соответствует только $x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Для отбора корней используем единичную окружность. На заданном промежутке лежат корни $дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ и $20 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $20 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

559902

а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $20 Пи .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 342

Классификатор алгебры: Модуль числа, модуль выражения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Перебор случаев, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	559902	а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $20 Пи .$