РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 559607 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Пусть $\overlineab$ обозначает двузначное число, равное $10a плюс b,$ где a и b  — цифры, $a не равно 0.$

а)  Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=99$ ?

б)  Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=693,$ если среди цифр a, b, c и d есть цифра 7?

в)  Какое наибольшее значение может принимать выражение $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc,$ если среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 7?

Решение. а)  Да. Действительно, поскольку

$\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$ $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=$
$= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$ $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=$
$= левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10c плюс d правая круглая скобка минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 10d плюс c правая круглая скобка =$
$=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка ,$

нужно подобрать такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что $ac минус bd=1.$ Это верно, например, при $a =1,$ $b = 2 ,$ $c = 9$ и $d = 4.$

б)  Докажем, что это невозможно. Имеем

$\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка .$

Значит, если $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc=693,$ то $99 умножить на левая круглая скобка ac минус bd правая круглая скобка =693=99 умножить на 7$ и $ac минус bd=7.$

Если среди цифр a, b, c и d есть цифра 7, то одно из произведений ac или bd делится на 7, а значит, и другое произведение тоже делится на 7. Это невозможно, так как в этом случае среди цифр a, b, c и d есть по крайней мере две цифры 7.

в)  Как показано выше, имеем

Рассмотрим все возможные случаи, когда среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 7.

Если цифры 5 и 7  — это a и c, то $ac минус bd\leqslant5 умножить на 7 минус 1 умножить на 2=33.$

Если цифры 5 и 6  — это b и d, то $ac минус bd\leqslant8 умножить на 9 минус 5 умножить на 7=37.$

Если цифра 5  — это a или c, а цифра 7  — это b или d, то $ac минус bd\leqslant5 умножить на 9 минус 7 умножить на 1=38.$

Если цифра 7  — это a или c, а цифра 5  — это b или d, то $ac минус bd\leqslant7 умножить на 9 минус 5 умножить на 1=58.$

Значит, наибольшее возможное значение выражения $\overlineab умножить на \overlinecd минус \overlineba умножить на \overlinedc$ равно $99 умножить на 58=5742,$ оно достигается при $a = 7,$ $b = 5,$ $c = 9$ и $d =1.$

Ответ: а) Да; б) нет; в) $99 умножить на 58=5742.$

Примечание.

Заметим, что среди цифр a, b, c и d не должно быть 0, поскольку в противном случае какое-либо из чисел $\overlineab, \overlinecd, \overlineba, \overlinedc$ будет начинаться с 0, то есть не будет двузначным числом.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в	4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в	3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены	2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) Да; б) нет; в) $99 умножить на 58=5742.$

559607

а) Да; б) нет; в) $99 умножить на 58=5742.$

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	559607	а) Да; б) нет; в) $99 умножить на 58=5742.$