PDF-версии: 
В треугольнике АВС, площадь которого равна 2, на медианах AK и BL и CN взяты соответственно точки Р, Q и R так, что АР = РК, BQ : QL = 1 : 2, а CR : RN = 5 : 4.
а) Докажите, что MR : CN = 1 : 9.
б) Найдите площадь треугольника PQR.
Решение. а) Пусть
Тогда 
а 
по свойству медианы. Следовательно,
Значит, 
б) Пусть 
тогда 
Значит,
Пусть 
тогда 
следовательно, 
и тогда 
Заметим, что 
(треугольники имеют общую высоту, проведенную из вершины A, BK = KC), аналогично 
значит,
Аналогично доказывается, что 
значит,
Заметим, что треугольники QMR и BMR имеют общую высоту, проведенную из вершины R. Значит,
то есть 
Аналогично, треугольники BMR и BMC имеют общую высоту, проведенную из вершины B, значит,
то есть 
Следовательно, 
Аналогично получаем, что 
(треугольники PMB и PMQ имеют общую высоту из вершины P, их площади относятся как основания BM и QM),
Получаем, что 
Площадь 
(треугольники имеют общую высоту, проведенную из вершины R, их площади относятся как основания PM и AR). Имеем:
(треугольники имеют общую высоту, проведенную из вершины A). Значит, 
Получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |