PDF-версии: 
Отрезки AK, BL, CN — высоты остроугольного треугольника АВС. Точки Р и Q — проекции точки N на стороны АС и ВС соответственно.
а) Докажите, что прямые PQ и KL параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника PQKL, если известно, что CN = 12, AC = 13, BC = 15.
Решение. а) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Четырехугольник HKCL вписан в окружность с диаметром HC, поэтому углы HLK и HCK равны как вписанные. Аналогично: четырехугольник NPCQ вписан в окружность с диаметром NC, поэтому углы NPQ и NCQ равны как вписанные. Итак, углы NPQ и HLK равны, а значит, равны и углы QPC и KLC. Таким образом, прямая QP параллельна прямой KL.
б) По теореме Пифагора 
Имеем:
Далее получаем:
Теперь найдём площадь четырехугольника PQKL:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |