РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 556485 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 335

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\left| логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 конец аргумента плюс 2| больше или равно минус 3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 6 конец аргумента .$

Решение. Заметим, что $корень из a в квадрате = |a|,$ $логарифм по основанию a b в степени n = n логарифм по основанию a b,$ $логарифм по основанию левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка b = минус логарифм по основанию a b,$ а потому неравенство можно записать в виде

$\left|2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |x минус 2| плюс 1 правая круглая скобка | больше или равно минус 3 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |x минус 2| плюс 1 правая круглая скобка .$

Обозначая $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |x минус 2| плюс 1=t,$ получаем $|2t|\geqslant минус 3t,$ откуда

$|2t|\geqslant минус 3t равносильно совокупность выражений система выражений 2t\geqslant минус 3t,t больше 0, конец системы . система выражений минус 2t\geqslant минус 3t,t\leqslant0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений t больше 0,t=0 конец совокупности . равносильно t\geqslant0.$

Вернёмся к исходной переменной:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |x минус 2| плюс 1\geqslant0 равносильно совокупность выражений система выражений x минус 2 больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,x больше 2, конец системы . система выражений 2 минус x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,0 меньше x меньше 2, конец системы . система выражений 2 минус x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , минус 1 меньше x меньше 0. конец системы . конец совокупности .$

Решим каждую из систем полученной совокупности

Первая система:

$система выражений x минус 2 больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,x больше 2 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус x минус 3\geqslant0,x больше 2 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . ,x больше 2 конец совокупности . равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $система выражений x минус 2 больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,x больше 2 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус x минус 3\geqslant0,x больше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . ,x больше 2 конец совокупности . равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Вторая система:

$система выражений 2 минус x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно система выражений минус x в квадрате плюс x плюс 1\geqslant0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $система выражений 2 минус x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно система выражений минус x в квадрате плюс x плюс 1\geqslant0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Третья система:

$система выражений 2 минус x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , минус 1 меньше x меньше 0. конец системы . равносильно система выражений минус x в квадрате плюс x плюс 1\leqslant0, минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . , минус 1 меньше x меньше 0 конец совокупности . равносильно минус 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $система выражений 2 минус x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , минус 1 меньше x меньше 0. конец системы . равносильно система выражений минус x в квадрате плюс x плюс 1\leqslant0, минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . , минус 1 меньше x меньше 0 конец совокупности . равносильно минус 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Объединяя результаты, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

556485

$левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 335

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	556485	$левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$