PDF-версии: 
В треугольнике ABC AB = 3, 
Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что 
площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM = 1.
а) Докажите, что треугольник KNC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника KNC.
Решение. а) Угол ABC равен половине дуги ANC. Угол CML равен сумме углов CNK и ACN (как внешний для треугольника CMN). Таким образом, угол CML равен полусумме дуг KC и AN. Из условия угол CML равен углу ABC. Градусные меры дуг KC и CN равны, значит, равны и вписанные углы CKN и CNK, которые на них опираются, следовательно, треугольник KCN равнобедренный.
б) Треугольники ABC и LMC подобны по двум углам, коэффициент подобия равен отношению сторон AB к LM, то есть равен 3. Поэтому площадь треугольника LMC равна 
площади треугольника ABC. Найдем площадь треугольника ABC:
Высота h треугольника ABC, проведенная к AB равна 
Значит, высота CH треугольника CLM, проведенная к LM, равна 
Найдем радиус окружности по теореме синусов:
Таким образом, длина отрезка OH составляет 2. Воспользуемся теоремой Пифагора:
Вычислим искомую площадь:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |