РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 553831 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C)

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: 10 минус 3x конец дроби , знаменатель: 4 минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 16x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате минус 60x плюс 100 правая круглая скобка конец дроби \leqslant3.$

Решение. Преобразуем логарифм из числителя:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: 10 минус 3x конец дроби = левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 10 минус 3x конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате .$

Этот логарифм существует при $2 меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $x не равно 3.$

Учитывая ограничения, преобразуем логарифмы из знаменателя:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 16x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 16x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка правая круглая скобка =1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка ,$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате минус 60x плюс 100 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 10 правая круглая скобка в квадрате =2 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка |3x минус 10|=2 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате минус 60x плюс 100 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 10 правая круглая скобка в квадрате =$
$=2 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка |3x минус 10|=2 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка .$

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка ,$ тогда:

$дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 минус 2 левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка минус 2t конец дроби \leqslant3 равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 8t плюс 8, знаменатель: 2 минус 4t конец дроби \leqslant3 равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате плюс 4t плюс 2, знаменатель: 2 минус 4t конец дроби \leqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: t в квадрате плюс 2t плюс 1, знаменатель: 1 минус 2t конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 1 минус 2t конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка = минус 1, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 16x минус 20 минус 3x в квадрате правая круглая скобка =0, логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате минус 60x плюс 100 правая круглая скобка больше 1 конец совокупности . равносильно$

$равносильно система выражений совокупность выражений 16x минус 20 минус 3x в квадрате =1, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате минус 61x плюс 102 правая круглая скобка больше 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3,3 меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка больше 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3,3 меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби .$ $равносильно система выражений совокупность выражений 16x минус 20 минус 3x в квадрате =1, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате минус 61x плюс 102 правая круглая скобка больше 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3,3 меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка больше 0, конец системы . совокупность выражений 2 меньше x меньше 3,3 меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

553831

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	553831	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$