PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМ проведена плоскость. Сторона основания пирамиды равна 20, а боковое ребро — 
а) Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью является пятиугольником с тремя прямыми углами.
б) Найдите площадь этого сечения.
Решение. а) Обозначим K — середину ребра АВ, L — середину ребра AD. Плоскость сечения параллельна ребру AM, поэтому она пересекает грани MAB и MAD по прямым, параллельным AM — средним линиям треугольников MAB и MAD. Полученное сечение пересекает ребра AB, AD, MB и MD, а следовательно, и все грани пирамиды. Таким образом, сечение является пятиугольником.
Обозначим теперь P середину ребра MB и Q — середину ребра MD. Полученные точки являются точками пересечения сечения с ребрами пирамиды. При этом отрезки PK, AM и QL параллельны и отрезки KL и BD параллельны. Прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, а следовательно, и прямой AM, значит, отрезки PK и QL перпендикулярны отрезку KL, а углы PKL и QLK прямые.
Обозначим точку пересечения сечения с ребром MC — R, с прямой AC — T (середина KL), с высотой пирамиды MO — S (середина PQ). Заметим, что 
Таким образом, KLQP — квадрат со стороной 
Отрезки RT и AM параллельны, следовательно, треугольник RTC подобен треугольнику MAC с коэффициентом 
и отрезок RT равен 
Таким образом, отрезки RS, PS и SQ равны друг другу и равны 
Из вышесказанного следует, что треугольник PRQ прямоугольный и угол PRQ прямой.
б) Как было сказано в п. а), сечение разбивается на квадрат со стороной 
и равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой и высотой Найдем площадь сечения:
Ответ: б) 250.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |