РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 552512 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 328. (часть C)

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка |x| правая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 6x в квадрате минус 11|x| плюс 4 конец дроби меньше минус 1.$

Решение. Пусть $|x|=t,$ тогда

$логарифм по основанию t дробь: числитель: 3, знаменатель: 6t в квадрате минус 11t плюс 4 конец дроби меньше минус 1 равносильно логарифм по основанию t дробь: числитель: 3, знаменатель: 6t в квадрате минус 11t плюс 4 конец дроби плюс логарифм по основанию t t меньше 0 равносильно логарифм по основанию t 3t минус логарифм по основанию t левая круглая скобка 6t в квадрате минус 11t плюс 4 правая круглая скобка меньше 0.$ $логарифм по основанию t дробь: числитель: 3, знаменатель: 6t в квадрате минус 11t плюс 4 конец дроби меньше минус 1 равносильно логарифм по основанию t дробь: числитель: 3, знаменатель: 6t в квадрате минус 11t плюс 4 конец дроби плюс логарифм по основанию t t меньше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию t 3t минус логарифм по основанию t левая круглая скобка 6t в квадрате минус 11t плюс 4 правая круглая скобка меньше 0.$ $логарифм по основанию t дробь: числитель: 3, знаменатель: 6t в квадрате минус 11t плюс 4 конец дроби меньше минус 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию t дробь: числитель: 3, знаменатель: 6t в квадрате минус 11t плюс 4 конец дроби плюс логарифм по основанию t t меньше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию t 3t минус логарифм по основанию t левая круглая скобка 6t в квадрате минус 11t плюс 4 правая круглая скобка меньше 0.$

Применим метод рационализации:

$логарифм по основанию t 3t минус логарифм по основанию t левая круглая скобка 6t в квадрате минус 11t плюс 4 правая круглая скобка меньше 0 равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус левая круглая скобка 6t в квадрате минус 11t плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше 0,t больше 0,t не равно 1,6t в квадрате минус 11t плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно$ $логарифм по основанию t 3t минус логарифм по основанию t левая круглая скобка 6t в квадрате минус 11t плюс 4 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус левая круглая скобка 6t в квадрате минус 11t плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше 0,t больше 0,t не равно 1,6t в квадрате минус 11t плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6t в квадрате минус 14t плюс 4 правая круглая скобка больше 0,t больше 0,t не равно 1,6t в квадрате минус 11t плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка больше 0,t больше 0,t не равно 1, левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка больше 0 конец системы .\undersetсм.#8239;рис.\mathop равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t больше 2. конец совокупности .$ $равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6t в квадрате минус 14t плюс 4 правая круглая скобка больше 0,t больше 0,t не равно 1,6t в квадрате минус 11t плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка больше 0,t больше 0,t не равно 1, левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка больше 0 конец системы .\undersetсм.#8239;рис.\mathop равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t больше 2. конец совокупности .$ $равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6t в квадрате минус 14t плюс 4 правая круглая скобка больше 0,t больше 0,t не равно 1,6t в квадрате минус 11t плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка больше 0,t больше 0,t не равно 1, левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка больше 0 конец системы .\undersetсм.#8239;рис.\mathop равносильно$
$\undersetсм.#8239;рис.\mathop равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t больше 2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше |x| меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,|x| больше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 2, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше 2. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

552512

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 328. (часть C)

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	552512	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$