PDF-версии: 
В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N — середина ребра SC, точка L — середина ребра SA.
а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостями BNL и АВС, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 
Решение. а) Проведем LN — среднюю линию треугольника SAC. Она является линией пересечения плоскости SAC и сечения BLN. Пусть O — точка пересечения диагоналей основания, пусть LN пересекает SO в точке M (оба отрезка лежат в плоскости SAC), и пусть BM пересекает SD в точке K (оба отрезка лежат в плоскости SBD). Тогда отрезок BM лежит в плоскости BLN и, следовательно, K — точка пересечения плоскости BLN с ребром SD. Заметим, что O — середина диагонали BD, а M — середина отрезка SO. Запишем теорему Менелая для треугольника SOD и прямой BK:
б) Пирамида правильная, поэтому SO — ее высота. Угол между боковым ребром и основанием равен углу SBO, 
Пусть OB = 5x, тогда 
Запишем теорему Пифагора для треугольника SBO:
Тогда 
Прямая OB — проекция прямой MB на плоскость ABCD. Прямые OB и AC перпендикулярны, прямые LN и AC параллельны, поэтому прямые MB и LN перпендикулярны. Обе прямые OB и MB перпендикулярны линии пересечения плоскостей BLN и ABC. Следовательно, угол MBO — линейный угол двугранного угла между плоскостями BLN и ABC и равен искомому. Найдем
откуда искомый угол равен 
Ответ: б)
Приведем решение пункта б) Татьяны Шевелевой.
Прямая OB — проекция прямой MB на плоскость ABCD. Прямые OB и AC перпендикулярны, прямые LN и AC параллельны, поэтому прямые MB и LN перпендикулярны. Обе прямые OB и MB перпендикулярны линии пересечения плоскостей BLN и ABC. Следовательно, угол MBO — линейный угол двугранного угла между плоскостями BLN и ABC и равен искомому.
По доказанному в пункте а) 
следовательно,
откуда искомый угол равен
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |