PDF-версии: 
Найдите, при каких неотрицательных значениях a функция 
на отрезке [−1; 1] имеет только одну точку минимума.
Решение. Найдем производную функции:
По условию значения параметра неотрицательны. Рассмотрим отдельно случай a = 0. Тогда уравнение 
принимает вид 
и имеет единственный корень 
лежащий на заданном отрезке. При этом в точке x = 0 производная меняет знак с минуса на плюс, а потому это точка минимума, в точке 
производная меняет знак с плюса на минус, а потому это точка максимума. Следовательно, a = 0 подходит.
В случае 
уравнение является квадратным, и не имеет корней, если 
то есть при 
имеет единственный корень 
при 
В точке x = 0 производная меняет знак с минуса на плюс, а потому это точка минимума, в точке 
производная не меняет знака, а потому это не точка экстремума. Таким образом, значения 
подходят.
Осталось рассмотреть случай 
Тогда уравнение имеет два положительных корня 
и 
причем 
и потому 0 и 
являются точками минимума, а 
является точкой максимума. Чтобы отрезку [−1; 1] принадлежала лишь одна точка минимума, необходимо и достаточно выполнения неравенства 
откуда 
то есть 
Полученное неравенство обращается в равенство при 
причем левая часть неравенства убывает на ОДЗ, а правая — возрастает. Следовательно, решениями неравенства являются значения параметра, для которых 
Учитывая, что 
заключаем, что подходят все а такие, что 
Тем самым условию задачи удовлетворяют такие а, для которых 
или 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной. | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |