PDF-версии: 
В основании прямой призмы АВСDA1В1С1D1 лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что AD : BC = 2 : 1 и АВ = ВС.
а) Докажите, что прямые DB1 и A1B1 перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми CD1 и DB1, если боковая грань AA1D1D — квадрат.
Решение. а) В трапеции ABCD проведем высоту BH. Тогда
Следовательно, угол ABH равен 30°, углы ADC и BAH равны 60°, а угол BCD равен 120°. Отрезки BC, AB и CD равны, следовательно, треугольник BCD равнобедренный. Углы CBD и CDB равны 
Таким образом, угол BDA равен 30°, тогда угол DBA равен 90°, а значит, отрезки AB и BD перпендикулярны как катеты прямоугольного треугольника ABD. По теореме о трех перпендикулярах отрезки B1D и AB перпендикулярны и, следовательно, B1D перпендикулярно A1B1.
б) Пусть AB = BC = CD = a, а AD = AA1 = 2a. Через точку D проведем прямую, параллельную CD1. Пусть она пересекает прямую CC1 в точке C2. Тогда искомый угол равен углу между прямыми DB1 и DC2. Найдем его из треугольника DB1C2. Пусть CC2 = CC1 = AA1 = 2a. Найдем B1C2 по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике B1C2C1:
Прямые DC2 и CD1 равны, тогда найдем прямую CD1 по теореме Пифагора из треугольника CD1D:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:
Найдем B1D по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике B1DB:
Применим теорему косинусов для треугольника B1DC2:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |