PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 1 решение.
Решение. Пусть 
Заметим, что
значит, 
Каждому значению 
соответствуют два значения переменной y, а значению 
— одно значение переменной y. Система принимает вид
Воспользуемся графоаналитическим методом. Преобразуем первое уравнение системы (⁎):
В плоскости xOt графиком первого уравнения системы (⁎) является совокупность дуг двух окружностей: при 
окружности с центром в точке 
и радиусом 
при 
окружности с центром в точке 
и радиусом 
C учётом ограничения 
остаются две дуги и точка (выделено синим). Графиком второго уравнения системы (⁎) является прямая 
положение которой зависит от параметра a.
Чтобы исходная система имела ровно одно решение, система (⁎) должна иметь одно решение при и при этом не иметь других решений. Значит, прямая 
должна проходить через одну из точек 
и не пересекать график первого уравнения в других точках. Это достигается при 
(выделено красным), 
(выделено зелёным) или 
(выделено пурпурным).
Ответ: 
Приведем решение Михаила Градобоева.
Заметим, что если пара чисел (x, y) является решением системы, то пара чисел (x, −y) также является решением системы. Следовательно, система имеет одно решение, только если y = 0. В этом случае имеем:
Решения первого уравнения: x = 4, x = −4, x = 0.
Решения второго уравнения: x = a − 2.
Система имеет одно решение, если решение второго уравнения совпадает с одним из решений первого уравнения, то есть при a = 6, a = −2, a = 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |