PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АН1 и СН2, затем провели луч НМ, который пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точке К, где М — середина АС, а Н — точка пересечения высот.
а) Докажите, что НМ = МК.
б) Найдите площадь треугольника ВСК, если 
AC = 1.
Решение. а) Найдем угол АКС:
Пусть К1 — точка на луче НМ такая, что НМ = MK1, тогда четырехугольник СНАК1 — параллелограмм, поскольку его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Так как СНАК1 — параллелограмм, углы АК1С, АНС и АКС равны. Но это невозможно, поскольку 
если К1 лежит вне окружности и 
если К1 лежит внутри окружности. Значит, точки К и К1 совпадают, откуда следует, что НМ = МК.
б) Пусть четырехугольник АКСН — параллелограмм. Тогда прямые СК и АН параллельны, поэтому угол КСВ прямой. Углы КВС и КАС вписаны в окружность и опираются на одну дугу, поэтому они равны. Прямые АК и СН параллельны, тогда 
значит, треугольник КСВ — равнобедренный и прямоугольный. Отрезок ВК является диаметром окружности, поэтому 
Найдем площадь треугольника ВСК:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |