Ре­ше­ние. а)  Если бы такое слу­чи­лось, то среди этих чисел было бы 4 не­чет­ных и 31 чет­ное. Зна­чит, их сумма была бы четна и не могла быть равна 1135.

б)  Возь­мем наи­мень­шие числа, кон­ча­ю­щи­е­ся на 7: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67. Их сумма равна 259. Возь­мем наи­мень­шие 27 чет­ных чисел: Их сумма равна В ка­че­стве по­след­не­го числа возь­мем

в)  До­пу­стим, на доске на­пи­са­ны n чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся на 7 и 35 − n чет­ных чисел. Тогда их сумма не мень­ше, чем сумма наи­мень­ших чисел с теми же свой­ства­ми. Зна­чит,

Два­жды вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой для суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, по­лу­чим:

Квад­рат­ный трех­член в левой части по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го не­ра­вен­ства при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние при и воз­рас­та­ет при При n  =  9 левая часть равна −10, а при n  =  10 она равна 35, по­это­му Оста­лось при­ду­мать при­мер. Можно, на­при­мер, взять наи­мень­шие 9 чисел, кон­ча­ю­щих­ся на 7  — это числа 7, 27, ... 87  — и наи­мень­шие 26 чет­ных чисел от 2 до 52. Сумма таких чисел равна 1125. За­ме­нив 52 на 62, по­лу­чим тре­бу­е­мую сумму.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  9.