PDF-версии: 
В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD1.
б) Найдите расстояние между прямыми ЕD1 и FE1.
Решение. а) Заметим, что прямые BE и CD параллельны C1D1, следовательно, сечение проходит через точку С1. Отрезок CF пересекает BE, а следовательно, и плоскость сечения в точке O — центре основания. Таким образом, CO = FO. Проекции равных отрезков на одну плоскость равны, следовательно, C'O = F'O, где C' и F' — проекции точек C и F на сечение BED1C1. Треугольники CC'O и FF'O равны по гипотенузе и катету. Поэтому CC' = FF'.
б) Заметим, что FE1 параллельно BC1, следовательно, прямая FE1 параллельна сечению BED1C1. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от прямой FE1 до сечения BED1C1. Следовательно, искомое расстояние, это, например, FF' = CC'. Найдем последнее как высоту пирамиды BECC1, опущенную из вершины С. Объем пирамиды BECC1:
откуда 
Из свойств правильного шестиугольника 
Очевидно, что сечение BED1C1 — равнобедренная трапеция в которой боковая сторона 
а высота равна
Таким образом,
Ответ: б)
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Найдем уравнение плоскости BED1 в виде 
Плоскость проходит через начало координат, а потому 
Подставляя координаты точек E и D1, находим:
откуда
Найдем расстояния от точек F и C до плоскости BED1:
Таким образом, точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD1.
б) Прямая BC1 параллельна прямой E1F. Докажем, что точка C1 лежит в плоскости BED1. Подставим координаты точки 
в уравнение плоскости, получим: 
Это равенство верно, следовательно, точка C1 действительно принадлежит плоскости BED1. Тогда и прямая BC1 принадлежит плоскости BED1, а значит, плоскость BED1 параллельная прямой E1F. Найдем расстояние между прямыми ЕD1 и FE1:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |