PDF-версии: 
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 на боковых ребрах АА1 и DD1 взяты соответственно точки
а) Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если АВ = 8, АА1 = 10.
Решение. а) Пусть L — точка пересечения плоскости BMK с ребром СС1. В грани AA1DD1 построим прямую KR, параллельную AD и параллельную BC. Далее, DR : RM : MD1 = 2 : 2 : 1, тогда из параллельности KM и BL получаем, что треугольники KRM и BCL равны. Следовательно, CL : LC1 = 2 : 3 = AK : KA. Таким образом, по теореме Фалеса AC и KL параллельны A1C1 и, следовательно, плоскость BМK параллельна прямой AC.
б) Вычислим двумя способами объем пирамиды AKLB. С одной стороны, 
С другой стороны, 
где ha и hl — высоты, проведенные из соответствующих вершин. Таким образом, ha является искомым расстоянием.
Вычислим:
Вычислим площадь треугольника BLK: 
Вычислим площадь треугольника ABK: 
найдем 
Получаем: 
откуда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |