В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА1 равно 7. На ребре СС1 отмечена точка М, причем СМ = 1.
а) Точки О и О1 — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что прямая ОО1 содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ.
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости АВМ.
Решение. а) Пусть точка K — середина ребра AB, а точка Q — такая точка на отрезке MK, что
Тогда точка Q — точка пересечения медиан треугольника ABM, так как делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Проекцией отрезка MK на плоскость ABC является отрезок CK. Точка О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит отрезок CK в отношении 2 : 1, считая от вершины C, поэтому точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO1 и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно, точка Q лежит на прямой OO1.
б) Пусть точка T — середина ребра A1B1. Прямые A1B1 и AB параллельны, поэтому прямая A1B1 и плоскость ABM также параллельны. Расстояние от точки A1 до плоскости ABM равно расстоянию от точки T до плоскости ABM. Опустим из точки T перпендикуляр TS на прямую KM. Докажем, что отрезок TS — искомое расстояние. Прямые TS и KM перпендикулярны по построению. Прямая TS лежит в плоскости KTC1C, а поскольку прямые AB и KC перпендикулярны и прямые AB и CC1 перпендикулярны, то прямая AB и плоскость KTC1C также перпендикулярны. Следовательно, прямая AB перпендикулярна любой прямой в плоскости KTC1C, в частности, прямые TS и AB перпендикулярны. Таким образом, прямая TS перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости ABM и потому является перпендикуляром к плоскости.
Рассмотрим треугольник TKM, в котором 
Вычислим:
Таким образом, треугольник TKM — равнобедренный. Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |